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Segni, parole, significato.

La sicurezza dei numeri primi

I numeri primi hanno sempre attratto l’attenzione dei matematici, perché, in qualche modo, nell’ordinato mondo della matematica, rappresentano un’eccezione. La loro sequenza non presenta, almeno in apparenza, alcuna regola; su di loro, è vero, ci sono alcuni teoremi che forniscono interessanti informazioni – ad esempio si può dimostrare che sono in numero infinito, come fece Euclide nel libro IX degli Elementi – ma nel complesso, si ha l’impressione che siano, in qualche modo, a parte, come diamanti purissimi incastonati nel variegato mondo dei numeri reali.

Per questo motivo, dunque, moltissimi matematici si sono interessati a loro. Alcuni hanno trovato relazioni importanti, o caratteristiche particolari.
Per fare un esempio, Mersenne, un medico e matematico francese vissuto a cavallo tra il sedicesimo e il diciassettesimo secolo, si mise alla ricerca dei numeri primi esprimibili come 2^n – 1; si fermò a n=257. Attualmente, un progetto chiamato GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), che per il calcolo usa meccanismi di grid (migliaia di computer in rete, ciascuno dei quali esegue una piccola porzione di lavoro predefinita) detiene il primato di numero di Mersenne più grande, con n=30402457 (il numero che si ottiene ha, in base decimale, più di nove milioni di cifre). La peculiarità di questi numeri è che sono legati da una semplice relazione ai numeri perfetti (quei numeri la cui somma dei divisori, compreso se stesso, è pari a 2n, dove n è il numero stesso). Tutti i numeri perfetti, infatti, possono essere così espressi:

mersenne

dove Mn è il numero di Mersenne di ordine n.
Queste relazioni non sono di alcuna utilità, ma sembrano essere indizi che dietro all’apparente casualità dei numeri primi esista una regola che ancora ci sfugge.

Tra tutte le ipotesi, dimostrazioni e relazioni trovate sui numeri primi, ce ne è una che riveste un particolare interesse. Nel 1859 Bernhard Riemann ha formulato, per la prima volta, la celebre ipotesi che prende il suo nome. Il contenuto di questa congettura si riferisce agli zeri non banali della funzione zeta di Riemann: si afferma che la parte reale di ogni radice non banale vale ½.
In realtà questa ipotesi assume particolare interesse se la funzione zeta viene espressa come una produttoria (che è l’equivalente della sommatoria per la moltiplicazione) nella quale p spazia su tutto l’insieme dei numeri primi. L’andamento della funzione zeta risulta quindi legato alla distribuzione dei numeri primi all’interno dell’insieme dei numeri naturali.

Sembra quindi che questa funzione sia in grado, in qualche modo, di trovare una regolarità nei numeri primi – e il motivo per cui si scrive sembra è lo stesso per cui si parla di ipotesi anziché di teorema: attualmente, questa congettura non è stata dimostrata (o le dimostrazioni esistenti non sono ancora state ancora provate, il che è equivalente). L’ipotesi di Riemann è l’unico problema, tra i 23 proposti da Hilbert a Parigi, l’8 agosto del 1900 (tra questi, anche il famoso teorema di Fermat) a non essere ancora stato risolto; ed è uno dei sette Millenium Problems per i quali la Clay Mathematics Institute è disposta a pagare un milione di dollari in caso di soluzione. Attualmente, tramite l’uso di computer, si è calcolato che, per i primi miliardo e mezzo di numeri primi (si scusi il bisticcio di parole), l’ipotesi è vera: per la matematica, però, questo non basta.

La dimostrazione dell’ipotesi di Riemann avrebbe due importanti conseguenze: la prima, è far tirare un sospiro di sollievo a tutti i teoremi matematici che esordiscono dicendo “Supponendo che l’ipotesi di Riemann sia esatta…”; la seconda conseguenza è che si aprirebbero nuove strade per la comprensione della struttura dei numeri primi. Come corollario di questa seconda conseguenza, si avrebbe che tutta la sicurezza che oggi permette le comunicazioni sicure in Internet non sarebbe più tale.

Ma cosa c’entrano i numeri primi con la crittografia?
Nel 1978 Rivest, Shamir e Adleman idearono una nuova tecnica per la crittografia, che prese il nome dalle loro iniziali: RSA. La caratteristica principale di questo algoritmo è che utilizza chiavi asimmetriche: presa una comunicazione S, data una funzione F di crittografia, una U di decrittografia, e due chiavi A e B, tali chiavi si dicono asimmetriche se S = U(F(S,A),B), cioè se, usando la chiave A per crittografare la comunicazione, la decrittografia può essere compiuta solo conoscendo la chiave B.
Questo permette la sicurezza della crittografia in Internet: quando ci si collega alla propria banca per eseguire operazioni sul conto corrente, si nota che il protocollo usato non è più il classico http, ma bensì l’https, il cosiddetto protocollo sicuro. In pratica, cosa succede? Il server della banca fornisce al browser chiamante la chiave A per la crittografia (questa chiave prende il nome di chiave pubblica) e dice: “prima di mandarmi qualsiasi comunicazione, sottoponile ad un processo di cifratura con la chiave che ti ho fornito”. La garanzia sta tutto in questo: la banca è l’unica a possedere la chiave B (o chiave privata), capace di decifrare quanto inviato. In realtà il meccanismo è un po’ più complesso (le chiavi scambiate sono più numerose, perché anche la banca si deve garantire che le informazioni che invia siano leggibili solo al destinatario), ma la sostanza è questa.
E i numeri primi? Finalmente ci siamo: la caratteristica delle chiavi dell’algoritmo RSA è che esse sono legate da una semplice relazione: per decriptare quanto viene cifrato dalla chiave A, si devono conoscere i suoi fattori primi – sì, proprio quelli che si ottengono con la scomposizione imparata in prima media.
Un esempio? Se A vale 77, allora nel processo di decifratura userò 7 e 11, i fattori primi di A.

Perché questo algoritmo funziona? Perché non sappiamo quasi nulla dei numeri primi; per cui, ad esempio, se scelgo una chiave A esprimibile con 1024 bit, cioè dell’ordine di 2^1024, è ragionevole pensare che nessuno sia in grado, nel tempo che serve per compiere l’operazione, di trovare il modo di scomporre tale numero nel suo prodotto di fattori primi, e quindi di conoscere i due elementi che compongono la chiave B. Con una chiave a 3072 bit, si suppone, sulla base della curva con la quale si sviluppo la tecnologia, che un documento sia sicuro fino al 2030. I documenti TOP SECRET della NSA, che è l’ente americano per la sicurezza, sono crittografati con una chiave a 15360 bit. Le peggiori menti criminali del mondo ora, invece di imparare ad usare armi sempre più sofisticate, studiano matematica – e questo potrebbe anche essere un motivo di speranza per un mondo migliore.

Su tutto questo, dunque, pesa l’ipotesi di Riemann. E così, mentre i matematici si affannano a cercare di dimostarla (per chi ha visto A beautiful mind, il film sul matematico Nash: il motivo per il quale, nella realtà, Nash impazzisce fino a credersi l’Imperatore dell’Antartide, è il fallimento del suo tentativo di dimostrare la congettura), noi informatici speriamo che questo non accada mai.
O comunque solo dopo che siano scaduti i contratti di garanzia sui software a prova di hacker già venduti.

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3 commenti su “La sicurezza dei numeri primi

  1. Vitaliano
    18/05/2012

    T’ho lasciato poco prima della 5 riga. Affascinante ma incomprensibile, infatti. Pens che alla s. Giorgio a cremano ci hanno impiegato un circa tre mesi ma non sono riusciti a farmi capire la legge di hom. Io chiedevo patate e cipolle e quella voleva darmi voltaggi e resistenze. :)

    • Paolo Zardi
      31/05/2012

      Ah ah! Ma ti correggo: la legge è quella di Ohm. La sta usando anche il tuo computer quando scrivi sul blog! ;)
      un abbraccio, caro Vitaliano, e a presto!

  2. Michele Lecchi
    01/06/2012

    E’ bello quando un ingegnere è anche scrittore…. rende affascinante anche la spiegazione della matematica.
    Gli enigmi che stanno attorno ai numeri primi sono molto affascinanti…

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Questa voce è stata pubblicata il 17/05/2012 da in Fisica con tag , , , , , , , .

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